Diversità e uguaglianza: due fiumi nel mare della conoscenza.

 

Un aspetto fondamentale della vita umana è certamente la socialità, la relazione e il contatto con altri individui: il confronto con essi. E il confronto, si sa, implica sempre l’individuazione di uguaglianze e differenze, concetti cardine sui quali la mente umana fonda il suo metodo conoscitivo.

Il matematico Gianmarco Bianchi fornisce la definizione matematica di uguaglianza, diversità e loro annessi.

L’uguaglianza fra due numeri, rappresentata dal simbolo “=”, indica semplicemente che un numero è uguale a sé stesso: rappresenta, quindi, la conferma di una conoscenza già acquisita. È, invece, dall’osservazione della diversità che ha inizio il processo di apprendimento di nuove conoscenze. Infatti, la diversità si presenta sotto forma di non-uguaglianza (“≠”), per indicare che due numeri sono semplicemente diversi, ma anche sotto forma di disuguaglianza. Quest’ultimo tipo di diversità rappresenta uno strumento conoscitivo in quanto aggiunge nuove informazioni sui numeri confrontati: esso si esprime, infatti, con i simboli “>” (maggiore) o “<” (minore), stabilendo, in questo modo, una relazione tra i termini considerati e dando loro un ordine che prima non esisteva.

L’antitesi tra uguaglianza e diversità non è certamente causa di divisione, ma, anzi, è ciò che più lega i due concetti che, presi singolarmente, perderebbero di significato. Quest’intreccio tra uguaglianza e diversità, in matematica, è presente nel concetto di equivalenza. Si parla infatti di equivalenza tra due espressioni, diverse nella forma, ma uguali in valore: (56:8-3+1) = 25:(7-2) = 5.

Quando in un’espressione compaiono, insieme ai numeri, delle lettere, cioè delle incognite, l’espressione assume il valore di una domanda: ci si chiede per quali valori dell’incognita l’uguaglianza o la disuguaglianza sia verificata. Parliamo di equazioni e disequazioni. Se per le prime le soluzioni sono definite e in numero finito, per le seconde si parla di insiemi infiniti di numeri. Per esempio, la disequazione che ha per soluzione x<4 ci porta a considerare gli infiniti valori minori di 4, dividendo, così, l’insieme dei numeri reali in due gruppi diversi: quelli minori di 4 e quelli maggiori di 4.

Altra applicazione matematica del concetto di uguaglianza è l’uso di formule, leggi matematiche che legano più grandezze tra loro: l’aspetto più affascinante (e utile) delle formule è certamente la loro generalità. Una formula resta invariata, uguale, nonostante la scelta di valori numerici diversi.

Questa continua fusione della diversità nell’uguaglianza (o viceversa) è osservabile anche negli insiemi, grazie ai quali è possibile raggruppare elementi tutti diversi, ma con una o più proprietà uguali.

Considerando, ad esempio, l’insieme N=1;2;3;4;5;6;7; … dei numeri naturali, è possibile dividerlo in due sottoinsiemi P e D, rispettivamente dei numeri pari e dei numeri dispari. Questi due insiemi, entrambi contenenti numeri naturali, sono diversi per due aspetti: in primis, non hanno nessun elemento in comune; inoltre, l’insieme P, a differenza di D, è chiuso rispetto all’operazione somma (sommando due numeri qualsiasi in P, si ottiene un terzo valore appartenente a P).

P e D hanno, però, in comune il fatto di essere chiusi rispetto al prodotto (il prodotto di due numeri pari è ancora pari, così come il prodotto tra due numeri dispari è ancora dispari). Inoltre, entrambi gli insiemi contengono un numero infinito di termini che è possibile verificare essere proprio lo stesso. In generale, due insiemi hanno lo stesso numero di termini se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i termini del primo e i termini del secondo insieme (ad ogni elemento del primo insieme è associato uno e un solo elemento del secondo e viceversa). In effetti, la corrispondenza che ad ogni numero n di P associa uno ed un solo numero n+1 di D è biunivoca: i due insiemi sono quindi uguali per numero di elementi e si dicono equipotenti. Dall’indagine sull’equipotenza di N rispetto ad altri insiemi numerici, si giunge alla conclusione che questa non esiste sempre: N ed R (insieme dei numeri reali, cioè razionali e irrazionali), pur essendo entrambi costituiti da infiniti termini, non sono equipotenti. Giungiamo alla conclusione che esiste una diversità anche tra infinità: ad oggi si conoscono solo l’infinità numerabile di N, e l’infinità più che numerabile di R, ma l’indagine su altri tipi di infinito è ancora in corso.

Anche in geometria, disciplina che si occupa dello studio di figure geometriche (ossia insiemi di punti) ci si imbatte nei concetti di uguaglianza e diversità e soprattutto nella loro coesistenza. Parliamo, in particolare, dei concetti di coincidenza (≡) e congruenza (≅). Due figure coincidono se ogni punto della prima sta su un punto della seconda, mentre sono congruenti se, attraverso un movimento rigido, è possibile portare una delle due figure a coincidere punto per punto con l’altra.

Diventa necessario, dunque, dare le definizioni di punto e movimento rigido.

Il punto è uno degli enti fondamentali della geometria piana, che, per definizione, non ha dimensione: per immaginare un punto, il matematico Bianchi consiglia di immaginare di “sgonfiare” una sfera piccolissima fino ad annullarla in tutte le direzioni. La coincidenza tra due punti, in geometria, corrisponde all’uguaglianza tra due numeri in matematica: conferma, infatti, che una figura è uguale a sé stessa, non aggiungendo nuove conoscenze.

Il movimento rigido corrisponde, invece, a un’isometria, ossia una trasformazione del piano cartesiano che ad ogni punto del piano associa uno e un solo punto del piano, lasciando invariate le distanze tra i punti considerati. Si tratta di traslazioni, rotazioni o simmetrie: trasformazioni il cui risultato è una figura diversa da quella di partenza, ma uguale quanto a distanza tra punti. In altri tipi di trasformazioni geometriche, come le omotetie, le affinità o le trasformazioni topologiche, la distanza tra i punti varia, ma vengono conservate, rispettivamente, le ampiezze degli angoli, l’allineamento tra punti, o la chiusura delle figure.

In sostanza, il significato di una trasformazione è dato non tanto da ciò che si trasforma, ma da ciò che resta invariato, uguale: ancora una volta il concetto di uguaglianza si inserisce nella definizione di una diversità.

Altra branca della matematica trattata da Gianmarco Bianchi è la logica, ossia la disciplina che stabilisce le regole del pensiero matematico e quindi umano. Uno dei procedimenti più diffusi nell’ambito della logica è l’implicazione logica (⇒, “implica”): se vale un enunciato A, si deduce che vale anche un secondo enunciato B (A⇒B). Ad esempio, essendo verificato l’enunciato A: “un numero n è multiplo di 6”, sarà valido l’enunciato B: “un numero n è multiplo di 2”: sarà, quindi, vero che “se un numero n è multiplo di 6, allora è anche multiplo di 2”. Tra gli enunciati A e B dell’esempio esiste una differenza gerarchica: se vale A, allora vale B, ma non è vero il contrario, cioè che A implica B.

Considerando, allora, un terzo enunciato C: “un numero n è multiplo sia di 2 che di 3”, possiamo osservare tra A e C un rapporto di uguale gerarchia: A⇔C, “un numero n è multiplo di 6 se e solo se n è multiplo sia di 2 che di 3”. In questo caso, se vale A, allora vale C e viceversa: si tratta di un’equivalenza logica.

Due affermazioni logicamente equivalenti, pur essendo diverse, hanno uguale valore.

 

Il matematico Bianchi conclude affermando che l’uguaglianza e il diverso si innamorano l’uno
dell’altra e, dall’amore che li lega in eterno, nasce continuamente una creatura bellissima: la conoscenza. Infatti, come si è visto per i concetti di equivalenza, formula, equipotenza e movimento rigido, solo quando nella diversità si insedia l’uguaglianza (o viceversa), quando in una variazione si tiene conto anche di ciò che resta invariato, quando in due espressioni strutturalmente diverse si trova lo stesso significato, si giunge a nuove informazioni sugli elementi di studio, si progredisce, si cresce. 

Come spesso accade, la matematica è capace di fornire insegnamenti che vanno oltre il semplice studio della disciplina: impariamo, in questo caso, in quanto umani, a comprendere la ricchezza della diversità, che porta sempre nuova conoscenza, ma anche a saper osservare quell’uguaglianza di fondo che, rendendoci tutti vulnerabili, ci spinge ad essere sempre più empatici e solidali.