Diversità e uguaglianza: due fiumi nel mare della conoscenza.

 

Un aspetto fondamentale della vita umana è certamente la socialità, la relazione e il contatto con altri individui: il confronto con essi. E il confronto, si sa, implica sempre l’individuazione di uguaglianze e differenze, concetti cardine sui quali la mente umana fonda il suo metodo conoscitivo.

Il matematico Gianmarco Bianchi fornisce la definizione matematica di uguaglianza, diversità e loro annessi.

L’uguaglianza fra due numeri, rappresentata dal simbolo “=”, indica semplicemente che un numero è uguale a sé stesso: rappresenta, quindi, la conferma di una conoscenza già acquisita. È, invece, dall’osservazione della diversità che ha inizio il processo di apprendimento di nuove conoscenze. Infatti, la diversità si presenta sotto forma di non-uguaglianza (“≠”), per indicare che due numeri sono semplicemente diversi, ma anche sotto forma di disuguaglianza. Quest’ultimo tipo di diversità rappresenta uno strumento conoscitivo in quanto aggiunge nuove informazioni sui numeri confrontati: esso si esprime, infatti, con i simboli “>” (maggiore) o “<” (minore), stabilendo, in questo modo, una relazione tra i termini considerati e dando loro un ordine che prima non esisteva.

L’antitesi tra uguaglianza e diversità non è certamente causa di divisione, ma, anzi, è ciò che più lega i due concetti che, presi singolarmente, perderebbero di significato. Quest’intreccio tra uguaglianza e diversità, in matematica, è presente nel concetto di equivalenza. Si parla infatti di equivalenza tra due espressioni, diverse nella forma, ma uguali in valore: (56:8-3+1) = 25:(7-2) = 5.

Quando in un’espressione compaiono, insieme ai numeri, delle lettere, cioè delle incognite, l’espressione assume il valore di una domanda: ci si chiede per quali valori dell’incognita l’uguaglianza o la disuguaglianza sia verificata. Parliamo di equazioni e disequazioni. Se per le prime le soluzioni sono definite e in numero finito, per le seconde si parla di insiemi infiniti di numeri. Per esempio, la disequazione che ha per soluzione x<4 ci porta a considerare gli infiniti valori minori di 4, dividendo, così, l’insieme dei numeri reali in due gruppi diversi: quelli minori di 4 e quelli maggiori di 4.

Altra applicazione matematica del concetto di uguaglianza è l’uso di formule, leggi matematiche che legano più grandezze tra loro: l’aspetto più affascinante (e utile) delle formule è certamente la loro generalità. Una formula resta invariata, uguale, nonostante la scelta di valori numerici diversi.

Questa continua fusione della diversità nell’uguaglianza (o viceversa) è osservabile anche negli insiemi, grazie ai quali è possibile raggruppare elementi tutti diversi, ma con una o più proprietà uguali.

Considerando, ad esempio, l’insieme N=1;2;3;4;5;6;7; … dei numeri naturali, è possibile dividerlo in due sottoinsiemi P e D, rispettivamente dei numeri pari e dei numeri dispari. Questi due insiemi, entrambi contenenti numeri naturali, sono diversi per due aspetti: in primis, non hanno nessun elemento in comune; inoltre, l’insieme P, a differenza di D, è chiuso rispetto all’operazione somma (sommando due numeri qualsiasi in P, si ottiene un terzo valore appartenente a P).

P e D hanno, però, in comune il fatto di essere chiusi rispetto al prodotto (il prodotto di due numeri pari è ancora pari, così come il prodotto tra due numeri dispari è ancora dispari). Inoltre, entrambi gli insiemi contengono un numero infinito di termini che è possibile verificare essere proprio lo stesso. In generale, due insiemi hanno lo stesso numero di termini se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i termini del primo e i termini del secondo insieme (ad ogni elemento del primo insieme è associato uno e un solo elemento del secondo e viceversa). In effetti, la corrispondenza che ad ogni numero n di P associa uno ed un solo numero n+1 di D è biunivoca: i due insiemi sono quindi uguali per numero di elementi e si dicono equipotenti. Dall’indagine sull’equipotenza di N rispetto ad altri insiemi numerici, si giunge alla conclusione che questa non esiste sempre: N ed R (insieme dei numeri reali, cioè razionali e irrazionali), pur essendo entrambi costituiti da infiniti termini, non sono equipotenti. Giungiamo alla conclusione che esiste una diversità anche tra infinità: ad oggi si conoscono solo l’infinità numerabile di N, e l’infinità più che numerabile di R, ma l’indagine su altri tipi di infinito è ancora in corso.

Anche in geometria, disciplina che si occupa dello studio di figure geometriche (ossia insiemi di punti) ci si imbatte nei concetti di uguaglianza e diversità e soprattutto nella loro coesistenza. Parliamo, in particolare, dei concetti di coincidenza (≡) e congruenza (≅). Due figure coincidono se ogni punto della prima sta su un punto della seconda, mentre sono congruenti se, attraverso un movimento rigido, è possibile portare una delle due figure a coincidere punto per punto con l’altra.

Diventa necessario, dunque, dare le definizioni di punto e movimento rigido.

Il punto è uno degli enti fondamentali della geometria piana, che, per definizione, non ha dimensione: per immaginare un punto, il matematico Bianchi consiglia di immaginare di “sgonfiare” una sfera piccolissima fino ad annullarla in tutte le direzioni. La coincidenza tra due punti, in geometria, corrisponde all’uguaglianza tra due numeri in matematica: conferma, infatti, che una figura è uguale a sé stessa, non aggiungendo nuove conoscenze.

Il movimento rigido corrisponde, invece, a un’isometria, ossia una trasformazione del piano cartesiano che ad ogni punto del piano associa uno e un solo punto del piano, lasciando invariate le distanze tra i punti considerati. Si tratta di traslazioni, rotazioni o simmetrie: trasformazioni il cui risultato è una figura diversa da quella di partenza, ma uguale quanto a distanza tra punti. In altri tipi di trasformazioni geometriche, come le omotetie, le affinità o le trasformazioni topologiche, la distanza tra i punti varia, ma vengono conservate, rispettivamente, le ampiezze degli angoli, l’allineamento tra punti, o la chiusura delle figure.

In sostanza, il significato di una trasformazione è dato non tanto da ciò che si trasforma, ma da ciò che resta invariato, uguale: ancora una volta il concetto di uguaglianza si inserisce nella definizione di una diversità.

Altra branca della matematica trattata da Gianmarco Bianchi è la logica, ossia la disciplina che stabilisce le regole del pensiero matematico e quindi umano. Uno dei procedimenti più diffusi nell’ambito della logica è l’implicazione logica (⇒, “implica”): se vale un enunciato A, si deduce che vale anche un secondo enunciato B (A⇒B). Ad esempio, essendo verificato l’enunciato A: “un numero n è multiplo di 6”, sarà valido l’enunciato B: “un numero n è multiplo di 2”: sarà, quindi, vero che “se un numero n è multiplo di 6, allora è anche multiplo di 2”. Tra gli enunciati A e B dell’esempio esiste una differenza gerarchica: se vale A, allora vale B, ma non è vero il contrario, cioè che A implica B.

Considerando, allora, un terzo enunciato C: “un numero n è multiplo sia di 2 che di 3”, possiamo osservare tra A e C un rapporto di uguale gerarchia: A⇔C, “un numero n è multiplo di 6 se e solo se n è multiplo sia di 2 che di 3”. In questo caso, se vale A, allora vale C e viceversa: si tratta di un’equivalenza logica.

Due affermazioni logicamente equivalenti, pur essendo diverse, hanno uguale valore.

 

Il matematico Bianchi conclude affermando che l’uguaglianza e il diverso si innamorano l’uno
dell’altra e, dall’amore che li lega in eterno, nasce continuamente una creatura bellissima: la conoscenza. Infatti, come si è visto per i concetti di equivalenza, formula, equipotenza e movimento rigido, solo quando nella diversità si insedia l’uguaglianza (o viceversa), quando in una variazione si tiene conto anche di ciò che resta invariato, quando in due espressioni strutturalmente diverse si trova lo stesso significato, si giunge a nuove informazioni sugli elementi di studio, si progredisce, si cresce. 

Come spesso accade, la matematica è capace di fornire insegnamenti che vanno oltre il semplice studio della disciplina: impariamo, in questo caso, in quanto umani, a comprendere la ricchezza della diversità, che porta sempre nuova conoscenza, ma anche a saper osservare quell’uguaglianza di fondo che, rendendoci tutti vulnerabili, ci spinge ad essere sempre più empatici e solidali.

GALILEO GALILEI: QUANDO L'UMANITA' CONOBBE LA LUNA

Il Seicento è il secolo della repulsione verso il tradizionalismo e l'ipse dixit aristotelico che, nei secoli precedenti, avevano profondamente influenzato (per non dire impedito) il progresso scientifico; è, questo, il secolo della rivoluzione scientifica, che vede protagonisti Bacon, Cartesio e Galileo, promotori di un'osservazione empirica dei fenomeni reali e di una metodologia di ricerca basata su principi matematici.
Galileo, in particolare, introduce un metodo scientifico sperimentale composto da una prima fase di analisi di un dato fenomeno, attraverso le sensate esperienze, e da una seconda fase di necessarie dimostrazioni, che rappresentano la sintesi delle osservazioni condotte precedentemente.
Galileo Galilei fu, inoltre, sostenitore della teorie eliocentrica di Copernico e, in ambito astronomico, si devono a lui, prime fra tutte, le scoperte riguardo la superficie lunare, i satelliti di Giove e la natura della Via Lattea, rese possibili dall'uso del cannocchiale.

Una bozza di Galileo della superficie lunare

È nel trattato scientifico Siderus Nuncius che lo scienziato pisano annuncia le sue scoperte e fornisce informazioni riguardo il particolare strumento che ha utilizzato.
Egli racconta di come, osservandola dal cannocchiale, sia riuscito a scorgere la superficie lunare che, diversamente da ciò che affermava la teoria tolemaica, non risulta liscia e levigata, ma scabra, del tutto assimilabile alla superficie terrestre, ricoperta di escrescenze e rientranze (monti e valli). 

Galileo afferma che, attraverso il cannocchiale, la luna gli era apparsa 30 volte più vicina, "sicché il suo diametro apparisca circa trenta volte maggiore, la superficie quasi novecento, il volume poi approssimativamente ventisettemila volte più grande di quando sia veduto ad occhio nudo". Particolari sono le proporzioni matematiche utilizzate per spiegare il funzionamento dello strumento utilizzato.

Galileo al cannocchiale

Pur non avendo a disposizione alcuna formula né per il calcolo della superficie né per quello del volume di una sfera (la luna), lo scienziato intuisce che la misura dell'area riguarda una moltiplicazione, dunque moltiplica una sola volta per sé stessa l'unica dimensione nota della sfera, il suo diametro: ne consegue che se il diametro visto dal cannocchiale è 30 volte maggiore di quello reale, allora la superficie percepita dal cannocchiale sarà 900 (=30^2) volte maggiore di quella effettiva. Attraverso un'intuizione simile, Galileo moltiplica due volte per sé stesso il diametro lunare (elevandolo, quindi, al cubo) concludendo che, dal cannocchiale, la luna risulta 27000 (=30^3) volte più grande rispetto alla realtà. Nonostante Galileo fornisca valori numerici tanto dettagliati, oggettivi, basati, ovviamente, su formule matematiche, il suo linguaggio non risulta freddo né distaccato, ma presenta un tono solenne, quasi commosso, nel quale si evince la felicità e la soddisfazione con cui lo scienziato comunica le proprie scoperte. Sono presenti, infatti, espressioni suggestive come "l'eccellenza della materia" o frasi che descrivono il piacere umano e genuino che Galileo prova nell'osservare la Luna: "Bellissima cosa e oltremodo a vedersi attraente è il poter rimirare il corpo lunare".

In effetti, l'intenzione a tratti celebrativa di Galileo si evince già nei primi righi del trattato: infatti i primi tre periodi cominciano rispettivamente con "Grandi invero sono le cose[...]", "Grandi, dico, [...]" e "Gran cosa è certo[...]".

Attraverso questa anafora lo scienziato rende subito nota ai lettori l'importanza dei temi trattati.

Il cannocchiale di Galileo

Nella seconda parte del trattato Galileo si sofferma sull'invenzione del cannocchiale (a opera di un fiammingo) e sul perfezionamento dello strumento messo in atto da lui stesso. Anche in questo caso il linguaggio matematico è accostato a quello poetico: infatti, come per la descrizione dell'osservazione della luna, attraverso un climax ascendente, Galileo racconta il progressivo affinamento del proprio cannocchiale, che passerà dal fornire un'immagine 3 volte più vicina e 9 volte più grande, al fornirne una più di 30 volte più vicina e quasi 1000 volte più grande.
Ancora una volta, Galileo si lascia andare al racconto appassionato e soggettivo dell'esperienza di studio che ha vissuto: lo si evince, in particolare, dalla frase "[...]osservai con incredibile godimento dell'animo le Stelle[...]". L'osservazione degli astri reca al poeta un senso di soddisfazione non solo, se così si può dire, sul piano "lavorativo" ma un senso di appagamento personale che ci fa comprendere quanto il mestiere dello scienziato, nonostante il rigore matematico, coinvolga in modo particolare il soggetto anche sul piano umano.

Gli studi di Galileo sui rapporti matematici tra le grandezze reali e quelle osservate al cannocchiale
possono essere rappresentati su un piano cartesiano come funzioni del tipo y=f(x).
Assumendo la variabile dipendente y come la misura percepita attraverso il cannocchiale, e la
variabile indipendente x come la misura reale, possiamo affermare che:

• La lunghezza del diametro sarà rappresentata dalla retta r: y=30x
• L’estensione della superficie sarà rappresentata dalla parabola S: y=900x^2
• Il volume sarà rappresentato dalla cubica V: y=27000x^3

(Si considerano ovviamente valori di x e y positivi, in quanto una misura reale non può assumere valori negativi)

"Sensate esperienze e necessarie dimostrazioni"

ANALISI E SINTESI

Il tema della nostra alternanza scuola-lavoro di questo anno scolastico sarà “analisi e sintesi “ .

L’analisi consiste nella scomposizione di un tutto negli elementi che lo costituiscono, sopratutto a scopo di studio, per esaminare i rapporti che si determinano tra tali elementi. Il concetto generale di analisi può essere applicato a molte discipline come ad esempio alla chimica (analisi chimica; analisi qualitativa; analisi quantitativa; analisi gravimetrica; analisi volumetrica), alla fisica (analisi armonica e analisi spettrale) o alla matematica (analisi infinitesimale). È possibile riscontrare altri esempi di analisi nelle discipline umanistiche: nel latino (analisi dei casi grammaticali) , nell’italiano (analisi di un testo narrativo o di un testo poetico), nella filosofia (interpretazione di un concetto complesso attraverso l’esame degli elementi semplici che lo compongono) o nella grammatica (analisi logica e grammaticale).


Analisi chimica

Analisi qualitativa

Analisi volumetrica

Analisi armonica

Analisi spettrale





 

Analisi infinitesimale

Analisi del periodo






La sintesi è un’ operazione che combina insieme parti o elementi per arrivare ad una conclusione unitaria ed essenziale. Il termine sintesi si può usare in relazione a varie discipline tra cui la fisica (sintesi di frequenza), la tecnica (sintesi di una rete elettrica), la chimica (sintesi degli elementi e sintesi enzimatiche) e  la fotografia (sintesi additiva e sottrattiva). Il concetto di sintesi  è rintracciabile anche nell’italiano (sintesi di un testo narrativo), nel latino (la traduzione della versione) o nella filosofia (sintesi del pensiero del filosofo e successiva interpretazione).

Sintesi di frequenza

Sintesi di una rete elettrica





   Sintesi enzimatica



Questi due termini si oppongono l’uno all’altro ma sono strettamente legati. Facciamo esperienza di analisi e sintesi nella nostra quotidianità. Quando studiamo, ad esempio, dividiamo l’attività in due fasi: la lettura dell’argomento (analisi) e la successiva creazione di un discorso che esponga ciò che abbiamo appreso (sintesi). In generale possiamo affermare che i concetti di analisi e sintesi riguardano ognuna delle azioni che compiamo in quanto il nostro cervello analizza gli impulsi e sintetizza una risposta.

Bonny Barbara Allen, ossia y=x² e y²=x

Nella ballata medievale anonima "Bonny Barbara Allen" viene narrata una tragedia amorosa fra sir

"John Graeme" e "Barbara Allen" che si amarono, ma furono uniti solo dopo la morte. La vicenda inizia quando John sta per morire a causa della distanza e del mancato amore di Barbara, che si era allontanata da lui perché in passato l’aveva maltrattata. Viene quindi fatta chiamare dal malato e viste le sue precarie condizioni, la donna non fa niente per impedire la dipartita dell’uomo perché ancora adirata con lui, ma si renderà conto solo dopo la sua perdita di averlo amato seriamente. Infine il loro amore viene suggellato dall’unione fra una rosa, cresciuta sulla tomba di John, e un rovo, cresciuto sulla tomba di Barbara.

La struttura della ballata è resa simmetrica da tutte le quartine e da un uso preponderante di ripetizioni delle stesse parole. Inoltre l'ambientazione delle vicenda in pieno autunno, nel periodo di "San Martino" (11 Novembre), si carica di significati simbolici ed è simmetrica rispetto alle emozioni dei personaggi, che in momenti diversi provano angoscia e dolore.

Lo schema delle rime non è regolare, diremmo quindi asimmetrico, diversamente dalle ballate tipiche che seguono una struttura metrica ben definita. 
Infine possiamo collocare l'amore provato dai due protagonisti in un tipico concetto matematico, il diagramma cartesiano, e più in particolare con la funzione y=x² . L'amore di Barbara infatti ha segno negativo ed è diminuito progressivamente, mentre quello di John è sempre vivo e forte, anche se lui sta morendo. Però in seguito alla morte di John, resa graficamente con un punto M, Barbara si rende conto di aver amato realmente l'uomo, ed il suo amore ritorna forte e "positivo" mentre l'amore provato da John è presente ma è “negativo” perché lui ormai è morto. Questa variazione di sentimento è esprimibile mediante una simmetria della funzione originale rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, che diventerà y²=x .

SIMMETRIA E ASIMMETRIA

In geometria la simmetria è una isometria, cioè una particolare trasformazione geometrica del piano che ad ogni coppia di punti del piano associa la coppia di punti del piano stesso che conserva le lunghezze. Nel linguaggio comune la simmetria indica una forma di corrispondenza regolare tra le parti di una configurazione. Pertanto, attenendoci alla definizione, la parola è associata ad un concetto di armonia ed equilibrio, poichè denota una concordanza di più parti che si integrano in un tutto. Un’immagine asimmetrica è quindi intesa come priva di proporzioni armoniose.

⧪ Simmetria in arte

⧪Simmetria in geometria